De la numerología al Teorema del Resto

Hay números que si o si nos llevan según nuestra historia de vida a pensar en cosa, hechos o lugares. Por ejemplo, a mi el 4, me hace inevitablemente pensar en crack del lateral derecho a esa foto le faltan sin temor a equivocarme: "Carlitos" Díaz, el "Pepe" Herrera y el "Chango" Pintos Saldanha.

Con está naturalidad y velocidad mental es que buscamos una herramienta  cuando trabajamos con polinomios, para intentar hallar el valor numérico para un valor de la variable determinado. Y esta herramienta es el Teorema del Resto.

Pero disfrutemos nuestro momento, cuando a mí me dicen 1, me es inevitable que se me venga a la cabeza el auto en la camiseta de Navarro Montoya y el bulldog de José Luis Chilavert. Y a usted ¿qué es lo que le viene a la mente rápidamente al leer el 1?

Pero...¿qué es un polinomio?...en español puro, es una combinación lineal (sumas, restas y multiplicación) de números y letras ( y como los profesores de matemática somos muy originales, siempre usamos la x) como por ejemplo el polinomio: P(x)=4x+2 

¿Y el 2? ¿Qué imagina o recuerdo le trae el 2? ¿Un pato? ¿Lugano?...Yo salí campeón 2 veces en deportes federados y en ambas ocasiones usaba la 2 en mi espalda.

Ahora...¿qué es el valor numérico? Si tomamos x=-3 y sustituimos en el polinomio anterior nos queda: P(-3)=4(-3)+2 entonces P(-3)=-12+2 de donde P(-3)=-10. Por lo tanto -10 es el valor numérico del polinomio P cuando x toma el valor -3. (Cuando trabajamos con funciones decimos que -10 es la imagen de -3).

¿Y el 3? Para mi el 3 no es otro que el gran Gonzalo Sorondo con la celeste Adidas en el pecho de aquella sub 20 que nos regalo un sudamericano divino y un Mundial de los recordados por todos.

Pero si tenemos un polinomio P(x) del cuál no sabemos su expresión analítica, pero sí  sabemos que el resto de dividir P(x) entre (x-1) es 8, entonces aplicando el Teorema del Resto podemos asegurar que P(1)=8. Ya que el Teorema del Resto nos afirma que si R es el resto de dividir P(x) entre (x-@) entonces se verifica que P(@)=R. Y le tengo fé a usted para demostrarlo ¿Se anima?

El 5 sin lugar a dudas es Obdulio. 

Entonces combinando la información del Teorema del Resto y el Esquema de Ruffini me animo y lo animó a buscarle los valores numéricos a cualquier polinomio. Es más, usted seleccioné el polinomio que desee y pídame el valor numérico que guste y desde este humilde espacio se lo hallamos...¿cómo?... miré el ejemplo...

Y si de verdad sabe de números y de fútbol mencioné los 11 de este esquisto team uruguayo.

#Matemarone

#Matearte

#Matemática

#AbrazoDeGol

Fútbol de primera, 20 años y fracciones equivalentes

Domingo a la noche y sólo tenía una misión, tener los deberes hechos para poder mirar "Fútbol de primera". Cuando llegaba de los partidos de baby fútbol y mientras merendaba, aunque en esa época le decía tomar la leche, el "Polideportivo" se encargaba de darme la información necesaria para poder pintar mis chapitas con los colores de cada equipo y tener al día las alineaciones de los equipos de la A, B y C de nuestro país.

En esos días me ilusionaba con que algún día escuchara en la tele un domingo a la noche (piensa y lea con la voz de Araujo)
- "...gol, gol goooool de yorugua Marcos Nicolás Marooooooone..."

También me encantaba hacer cuentas, disfrutaba muchísimo haciendo planteos y operos. Me ilusionaba mucho que de grande iba a poder hacer y resolver problemas matemáticos como los que resolvía mi primo Leo en sexto de ingeniería del liceo.

Ya a los 20 años, lo de escuchar mi nombre en la tele en la voz de Araujo se había desvanecido, sin embargo seguía sintiendo una emoción muy especial a la hora de hacer matemática, bue.. demasiado ambicioso eso de "hacer matemática", pero sí, era la matemática que estaba a mi alcance. Una cuenta bien hecha era como correr después de hacer el gol y treparme del alambrado. Cuando la maestra me daba la palabra era igual que cuando el jugador o jugadora recibe el llamado para ir a jugar con la selección. Uno quiere dejarlo todo ahí, en el pizarrón, para que la maestra sepa que uno está ahí para cuando necesite ser llamado y que puede contar con uno para hacer una operación o para resolver un problema, tiza en mano, enfrente de la clase o de cualquier rival.

Si existe un rival que a uno le mete presión y nos hace sentir que jugamos de visitante, ese rival es la fracción. Fracción que siempre viene con una alineación que algunos conocemos de memoria y para los que no, aquí se las refrescamos. Abajo una defensa bien parada, Denominador. En el medio la barra fraccionaria o división y arriba atacando, el Numerador.

La fracción es un equipo donde los del  medio siempre juegan igual, a veces no lucen y hasta parecen  desaparecer del partido, como por ejemplo en: 4/2 = 2 o en 12/6 = 2  o en 20/ 10 = 2 así que aunque visualmente nos intenten engañar 4/2 = 12/6 = 20 /10 = 2, es decir, las tres fracciones tienen el mismo valor por lo tanto son equivalentes. Las tres fracciones  son equivalentes entre sí.

Esto quiere decir que tengo que estar atento ya que podría estar enfrentándome a fracciones equivalentes y no darme cuenta. 

¿Cómo encuentro fracciones equivalentes a cuatro tercios (4/3)? El equipo fracción cuatro tercios (4/3) sabemos que mantendrá el medio, arriba al ataque, el Numerador con la 4 y abajo en la defensa el Denominador con la 3. Este último jugando y armando el juego desde el fondo. Entonces si al Denominador lo multiplico por 5 nos da 15 y al Numerador, también lo multiplico por 5, nos da 20. Tendremos que 4/3 = 20/15 y por lo tanto son fracciones equivalentes.

Pensemos ahora sí tenemos la fracción a/b con b distinto de cero y siendo a y b dos números naturales. Elegimos un natural h que sea distinto de cero entonces a/b = a.h / b.h de donde a/b y a.h/b.h  son fracciones equivalentes.

Inclusive a, b y h pueden ser números enteros, pero no debemos olvidarnos de pedirle al número b y al h que sean distintos de cero. Y nuestra definición de fracción equivalente sería igual de válida.

Estoy seguro que ahora ustedes también podrán encontrar una fracción equivalente a:  
1) 3/5 
2) 7/6
3)8

Esto se lo dejo  de deberes para que cuando sus botijas, o usted mismo, lo tengan hecho, pueda ver sin remordimientos de conciencia ya que tiene los deberes hechos, el especial de 20 años de Fútbol de primera en Netflix. 

6º Medicina - Encuentro del 22 de mayo

6º Ingeniería - Encuentro del 15 de mayo

Seguiremos caminando juntos

Yo en mi trabajo no puedo planificar y dar clases al mismo tiempo, no puedo porque l@s botijas no van a entenderme. Eso fue lo que sucedió ayer en mi humilde opinión. Poner en el centro de la discusión fechas y no el cómo, hacen que el mareo sea colectivo, poco claro y confuso.

Particularmente sigo sin poder dar certezas a mis alumnos del bachillerato nocturno a menos de dos meses para que finalicé su semestre. (Ayer se mencionó el 7 de julio como fecha de inicio de vacaciones de julio) Que debemos retomar la presencialidad, eso no tengo dudas. 

Ahora ¿no hubiese sido mejor focalizar en qué, quiénes y cómo retoman la presencialidad el 1 de junio? (una de las tantas fechas dadas ayer) Pues en el mareo de información, se mezclaron, ¿niveles educativos? ¿vacaciones? ¿Calificaciones? Y perdimos la información que debió ser ...la realmente relevante ¿En qué condiciones vuelven los niños, niñas, adolescentes y adultos a los centros de estudios? Salvo que el objetivo fuese justamente ese, generar más preguntas que claridad, en ese sentido entonces, se cumplió el objetivo. 

Igualmente a mis alumnos y sus familias les pido, estén tranquilos, ya sea desde la virtualidad o la presencialidad (¿Cuándo? nos toque volver) no caminarán solos, yo siempre, en el acierto o en el error, caminaré junto a ustedes.

Algoritmo y Esquema de Ruffini

Si pasaste por el bachillerato uruguayo, hay un frase que guardamos en nuestro disco duro: "bajala por Ruffini"

Puede parecer el grito desesperado de la tribuna reclamándole a su lateral derecho el impacto de su humanidad contra la del puntero rival, provocando la desestabilización de este. Puede y es un gran nombre para una murga. 

"Bajala por Ruffini" deriva de la utilización del Esquema de Ruffini para cuándo queremos hallar las raíces de una expresión polinómica de grado mayor a 3. Claro esto siempre y cuando tengamos alguna información extra. Pero sobre esto escribiré en el correr de las semanas. 

Hoy voy a intentar contarles 

¿Qué es el Esquema de Ruffini?

 Es un algoritmo de una división de polinomios. 

Antes de introducirnos en la división de polinomios intentemos responder: ¿Qué es un algoritmo?

Un algoritmo es un conjunto ordenado de pasos, que en matemática nos son muy útiles para poder realizar operaciones, ordenar ideas, entre otras cosas.  Por ejemplo la receta de cómo hacer un piza, es un algoritmo. 

Bien, ahora subamos un escalón. Ruffini desarrollo su algoritmo para poder realizar divisiones de polinomios de grado 1 o mayor entre polinomios de primer grado. Recordemos que al dividir queremos hallar un cociente y un resto de la división. 

Veamos un ejemplo

En el ejemplo anterior nos queda el cociente de grado 2 y esto pues porque nuestro dividendo, f(x), era de grado 3. Y es ahí donde comienza a surgir la idea de "bajala por Ruffini" 

En el correr de estos día iré contando un poco más, para llegar a revelar el misterio, de porque guardamos esa frase en nuestra memoria. Los invito a intentar recordar las utilidades del Esquema de Ruffini y a enviar sus fotos con más ejemplos de divisiones de polinomios donde se pueda aplicar el Esquema de Ruffini.

Ah pensaban que me olvidaba, que pasa si el divisor es (2x + 4)

Ahora si, espero sus fotos, comentarios, aportes o sugerencias para futuros mensajes.

#Matemática

#Matemarone

#Metearte

#AbrazoDeGol

Merendando

La educación de adultos, la gran olvidada

La educación de adultos pública ha sido la gran olvidada en todo esto.  Los miles de adultos que están intentando terminar el bachillerato en cursos semestrales, que finalizan en dos meses y sobre los cuales no hay ninguna , pero ninguna resolución. Muchos de ellos continuaron en contacto con sus docentes, otro no. Pero a los que están al firme, tanto docentes como alumnos, aún no se les ha confirmado nada. ¿El semestre finalizará en el tiempo pactado? ¿Cómo será su evaluación final en cada curso en este semestre? ¿Si tendrán derecho a cursar materias en el segundo semestre? ¿Habrá segundo semestre? Pues de los que quedaron en el camino, de esos alumnos que aún hoy no supimos nada, aquí aplicaría, la canción de tribuna "del rezago educativo vengo y al rezago educativo voy" mientras tanto el sistema dará discursos para la tribuna de preocupación pero actuará en sentido totalmente contrario.

Fracciones

Retomamos los mensajes que escribí ayer acerca del tema fracciones. El punto de partida reitero es el pedido de una mamá que me pedía ayuda para explicarle a su hija que es una fracción propia y que es una fracción impropia. Estos términos los podemos encontrar en varias bibliografías y páginas web. Ésta clasificación de las fracciones puede llevarnos a confusiones cuando queremos generar una respuesta final a las preguntas: ¿qué es una fracción? 

¿que no es una fracción?

Yo aquí intentaré plantear donde podemos encontrar esa confusión e invito a quienes quieran sumar su aporte a hacerlo. También intentaré dar una opción a mi gusto más amable para dar una clasificación de funciones. 

En lo personal la clasificación de propias e impropias me genera algunos cuestionamientos:

1️⃣La unidad entonces ¿no es una fracción?

2️⃣Si hay fracciones propias, apelando al lenguaje coloquial, entonces tenemos "la propia" fracción con lo cuál el resto ¿no lo son?

3️⃣Entonces las impropias ¿no son fracciones?

4️⃣ Y al final ¿que son las fracciones?

De mis preguntasintentaré responde la pregunta 4️⃣  y espero a través de ella, contestar las otras interrogantes. 

Para ellos los invito a ir subiendo escalones sin que nadie se caiga. Cada uno de ustedes puede ir acompañándome en esta escalera hasta donde pueda, entienda o tenga ganas.

.La idea es que todos los que lean estos mensajes, puedan sentir al final que al menos subieron un escalón sobre lo que sabían de las fracciones. Esta idea, la de la escalera se la escuché gracias a @BardoCientifico a @edusadeci en una charla que dió en el @IIBCE y desde ese día me propongo como objetivo, no que todos aprendan lo mismo, si que todos suban un escalón y se puedan plantear nuevas preguntas. Ustedes luego, si gustan me comentan si este mensaje cumplió ese objetivo. 

Ahora, ¿qué es un fracción? Para comenzar no perdamos de vista que una fracción es un número, sí un número. Es un número que nos acompaña en nuestras vidas y si bien puedo jugar al Ping Pong sin saber que es una fracción. Particularmente me interesa retomar la idea de la mesa de Ping Pong, ya que ella se divide en cuatro partes iguales 

Y "guau" ahi tenemos entonces cuatro cuartos, es decir 4/4 = 1 Espero que estén tan emocionados como yo, tenemos un fracción que representa a la unidad, es decir al 1. Esta fracción por ejemplo quedaría por fuera de la clasificación de propia o impropia, pues lo que si es...es una fracción. 

Entonces los invito a seguir subiendo escalones. Pensemos juntos utilizando la mesa de Ping Pong si encontramos un fracción que representante a 2 unidades, es decir al 2. Ya la tiene, verdad que si, estamos pensando en 8/4 = 2 y para el tres...si: 12/4 = 3. Observemos juntos además que 4÷4=1, 8÷4=2 y 12÷3=4 ¿me siguen? ¿Están pensando lo mismo que yo? Me muero de ganas de decir que una fracción, también representa a una división. Y esta es un verdad a medias, pues toda fracción representa una división, pero lamentablemente no toda división representa a una fracción. Alguna divisiones que no representan funciones son: 

1,5/1,5 = 1  3/1,5 = 4  1,5/3 = 0,5 estas tres divisiones no son fracciones. Entonces ¿que tiene que cumplir una división para ser fracción? 

Subamos otro escalón. Pensemos en la división a÷b que estaría representando al número a/b. Este número será una fracción si y sólo si se cumple que a y b son números enteros y además b debe ser distinto de cero. Por lo tanto podemos decir que una fracción es un par ordenado (a,b) donde ambas componentes son número enteros y la segunda componente es distinta de cero. También podemos llamar a la primer componen, en este caso a como numerador y a la segunda, b, denominador. Puff atr o atm "a toda matemática"

Llego hasta acá siga que viene lo desafiante. Trabajaré con a y b positivos, es decir números naturales, ya vimos que 3/2, 1/4, 8/3, 11/11 son fracciones. Le voy a pedir que piense usted en la fracción que usted quiera (a/b) escriba su fracción, yo la voy a clasificar

Si su fracción cumple que a = b, entonces su fracción representa a la unidad, es decir, su fracción vale 1. Si a es mayor a b o a es menor a b pase al siguiente párrafo.

Si su fracción cumple que a es mayor a b, entonces su fracción es mayor que la unidad, es decir es mayor que 1. Si a es igual a b lea el párrafo anterior. Si a es menor que b pase al siguiente párrafo.

Si a es menor que b, entonces su fracción es menor a la unidad, es decir menor a 1.

Si a es igual a b, lea el parrafo anterior al anterior a este.Si a es mayor que b lea el párrafo anterior.

Por lo tanto tenemos una clasificación de fracción, donde todas las fracciones positivas pueden ser categorías en:

1️⃣ Menores a 1

2️⃣ Mayores a 1

3️⃣ Iguales a 1

esta clasificación me encanta.

Para terminar o comenzar si arrancó por mirar las fotos primero les dejo tres desafíos

Tenis y fracciones

Y más sobre pelotas, raquetas y fracciones...si hacemos el mismo razonamiento para hablar de fracciones pero usamos la cancha de Tenis, lamentablemente no podríamos, ya que no todas sus partes son iguales. Pero ¿qué fracciones están representadas en la cancha de tenis?

Fracción impropia

Que sucede si a nuestra mesa de Ping Pong le agregamos un 1/4 de mesa. Ahora tendríamos en total 5/4 ya que todas las partes son iguales.
5/4 = 5÷4 = 1,25 nuestra fracción es mayor que la unidad (1) entonces nuestra fracción es impropia.
¿Existen más ejemplos de fracc impropias?

Fracción propia

Si tomamos la mesa de Ping Pong como nuestra unidad. Observemos que está dividida en 4 partes iguales. Cada una representa 1/4 de mesa. Como 1/4 = 1÷4 = 0,25 nuestra fracción es menor que la unidad, es un fracción propia. ¿Qué otros ejemplos de fracciones propias conocen? 

Fracciones, Ping Pong y Facultad

Comenzando con fracciones: 1° tenemos que hablar del Ping Pong. Desde Seúl 1988 es deporte olímpico y desde su creación, me refiero a la @fadu_udelar, es el deporte oficial de nuestros futuros arquitect@s. En está década ¿en qué @Udelaruy el ping pong es el deporte destacado?

Escribiendo sobre fracciones

Me gustaría escribir sobre un tema polémico, que seguramente a muchos movilizará.  Solo con nombrarlas a muchos no da dolor de panza, otr@s quedan inmovilizados, se les seca la boca, pierden la noción del tiempo y del espacio, agarrarse bien fuerte, voy a hablar de las fracciones

La cantina del CARP - San Javier

Lubo Adusto

Attos

Impares al poder